كيفية تسعير الخيارات: نموذج بلاك-شولز (Black-Scholes) بشرح مبسط

يمكن أن يبدو تداول الخيارات كصندوق أسود، خاصة عندما ترى أسعار العلاوات تومض عبر شاشتك. لماذا يكلف عقد واحد 2.50 دولار بينما يكلف عقد آخر، يبدو مشابهًا، 0.75 دولار؟ يكمن الجواب في إطار رياضي متطور مصمم لتقدير القيمة العادلة. بينما لا نحتاج إلى حساب هذه النماذج يدويًا، فإن فهم كيفية عملها أمر حاسم لاتخاذ قرارات مستنيرة بدلًا من المقامرة العمياء على اتجاه السوق.

في جوهره، سعر أي خيار هو انعكاس للاحتمال والزمن. السوق يحسب في الأساس الاحتمال الإحصائي لانتهاء الخيار داخل نطاق المال عند تاريخ الانتهاء، معدلًا بتكلفة الانتظار. ستعمل هذه المقالة على إزالة الغموض عن أشهر نموذج تسعير في المالية — صيغة بلاك-شولز (Black-Scholes) — وترجمة رياضياته المعقدة إلى حدس تداول عملي. سنفكك المدخلات الخمسة الرئيسية التي تحرك كل سعر خيار، ونريك بأرقام حقيقية كيف تغير التغييرات في هذه المدخلات العلاوة.

ولادة ثورة في التسعير

قبل عام 1973، كان تداول الخيارات فوضى غير منظمة حيث كانت الأسعار تُحدد بالتفاوض والتخمين. في ذلك العام، نشر فيشر بلاك (Fischer Black) ومايرون شولز (Myron Scholes) ورقة بحثية رائدة بعنوان «تسعير الخيارات والالتزامات المؤسسية» في Journal of Political Economy (Black & Scholes, 1973). قدم عملهما أول طريقة قوية وسليمة نظريًا لتحديد القيمة العادلة للخيار ذي النمط الأوروبي (الذي لا يمكن تنفيذه إلا عند الانتهاء). وسّع روبرت ميرتون (Robert Merton) (1973) النموذج للتعامل مع توزيعات الأرباح، ومعًا غيّر عملهما عالم المالية، وحصل في النهاية على جائزة نوبل في الاقتصاد (على الرغم من أن بلاك كان قد توفي بحلول ذلك الوقت).

عبقرية نموذج بلاك-شولز تكمن في أنه ينشئ محفظة خالية من المخاطر عن طريق التحوط المستمر للخيار بالسهم الأساسي. إذا تمكنت من موازنة الاثنين بشكل مثالي، يجب أن يساوي عائد المحفظة سعر الفائدة الخالي من المخاطر، مما يلغي الحاجة إلى التنبؤ بما إذا كان السهم سيرتفع أو ينخفض. هذا المفهوم، المعروف باسم التسعير بلا مراجحة (no-arbitrage pricing)، يفترض أنه لا يمكنك تحقيق أرباح خالية من المخاطر دون استثمار مقابل. بينما العالم الحقيقي به احتكاكات مثل تكاليف المعاملات والتقلب المتقلب (كعب أخيل النموذج)، يظل بلاك-شولز الأساس الذي بُني عليه سوق الخيارات الحديث الذي تزيد قيمته عن 500 مليار دولار.

المدخلات الخمسة الرئيسية (سلائف «الإغريقيات»)

نموذج بلاك-شولز ليس كرة بلورية؛ إنه دالة في خمسة متغيرات محددة. غيّر أيًا منها، ويتغير السعر النظري للخيار. فهم هذه المدخلات أهم من حفظ الصيغة نفسها. إليك إياها، موضحة عمليًا.

1. سعر السهم الحالي (S) وسعر التنفيذ (K)
هذان هما المرساة الأساسية. القيمة الجوهرية لخيار الشراء (الحق في الشراء) هي ببساطة سعر السهم ناقص سعر التنفيذ، إذا كان موجبًا. بالنسبة لخيار البيع، هي سعر التنفيذ ناقص سعر السهم. على سبيل المثال، إذا تداول سهم XYZ عند 105 دولارات، فإن خيار الشراء بسعر 100 دولار له قيمة جوهرية قدرها 5.00 دولارات. خيار الشراء بسعر 110 دولارات له قيمة جوهرية قدرها 0.00 دولار — إنه قيمة زمنية بالكامل. يستخدم النموذج هذين الرقمين لحساب «حالة المال» (moneyness) للخيار، وهو محرك رئيسي لنقطة انطلاق السعر.

2. الوقت حتى الانتهاء (T)
الخيارات أصول متآكلة. كلما زاد الوقت لديك، زادت فرص تحرك السهم في صالحك. يُقاس الوقت بالسنوات، لذا فإن الخيار ذي 30 يومًا له T = 30/365. العلاقة ليست خطية؛ يتسارع الانحلال الزمني (Theta) مع اقتراب الانتهاء. تأمل سهمًا عند 100 دولار. خيار شراء بسعر 105 دولارات مع 90 يومًا حتى الانتهاء قد يتداول مقابل 2.50 دولار. مع 7 أيام فقط حتى الانتهاء، قد يتداول نفس خيار الـ 105 دولارات مقابل 0.30 دولار فقط، حتى لو لم يتحرك السهم. يلتقط النموذج هذا عن طريق خصم العائد المتوقع مرة أخرى إلى القيمة الحالية، معاقبًا بشدة النتائج البعيدة وغير المؤكدة.

3. سعر الفائدة الخالي من المخاطر (r)
هذا هو العائد النظري على استثمار خالٍ من المخاطر، يُنمذج عادةً على أساس عوائد سندات الخزانة الأمريكية. يؤثر على أسعار الخيارات بطريقة دقيقة لكنها مهمة. لأن شراء خيار شراء بديل عن اقتراض المال لشراء السهم، فإن سعر الفائدة الأعلى يجعل خيارات الشراء أغلى قليلًا وخيارات البيع أرخص قليلًا. على سبيل المثال، إذا كان المعدل الخالي من المخاطر 5% وتنظر إلى خيار شراء بسنة واحدة بسعر 100 دولار على سهم بسعر 100 دولار، فقد يسعّره النموذج عند 7.50 دولارات. إذا قفز المعدل إلى 10%، فقد ترتفع القيمة العادلة إلى 9.00 دولارات. عمليًا، للخيارات قصيرة الأجل، هذا المدخل له تأثير ضئيل، لكنه أهم للخيارات بعيدة الأمد مثل ليبس (LEAPS).

4. التقلب (σ) — المدخل الأكثر أهمية
هذه هي كلمة «التقلب» التي تهيمن على كل مكتب تداول. التقلب هو الانحراف المعياري لعوائد السهم، ويقيس مقدار التقلب المتوقع للسعر. هذا هو المدخل الوحيد غير القابل للملاحظة المباشرة؛ يجب تقديره. كلما ارتفع التقلب المتوقع، ارتفعت العلاوة لكل من خيارات الشراء والبيع. وذلك لأن التقلبات الكبيرة في الأسعار تزيد من احتمال انتهاء الخيار داخل نطاق المال.

لنلقِ نظرة على مثال واقعي. سهم ABC عند 100 دولار، وتريد تسعير خيار شراء بسعر 100 دولار مع 60 يومًا حتى الانتهاء، مع معدل خالٍ من المخاطر عند 4%.

• السيناريو أ: تقلب منخفض (σ = 20%). قد يسعّر النموذج هذا عند 3.20 دولارات.
• السيناريو ب: تقلب مرتفع (σ = 40%). قد يسعّر النموذج هذا عند 6.80 دولارات.

لاحظ أن سعر السهم لم يتغير، والزمن لم يتغير، ومع ذلك تضاعفت العلاوة بأكثر من الضعف. ولهذا يقول المتداولون غالبًا: «أنت لا تراهن على تحرك السهم؛ أنت تراهن على تحرك السهم بما فيه الكفاية».

تجميع كل شيء معًا: مثال تطبيقي

لنستعرض حسابًا كاملًا ومبسطًا لنرى كيف تتفاعل هذه المدخلات. سنستخدم صيغة بلاك-شولز لخيار الشراء، وهي:

C = S * N(d1) - K * e^(-rT) * N(d2)

لا تذعر عند رؤية المعادلة. سنفككها جزءًا جزءًا.

• C هو سعر خيار الشراء النظري.
• S هو سعر السهم الحالي.
• K هو سعر التنفيذ.
• N(d1) وN(d2) هما دالتا التوزيع الطبيعي القياسي التراكمي (احتمالات أساسًا بين 0 و1).
• e^(-rT) هو عامل الخصم الذي يعيد سعر التنفيذ إلى دولارات اليوم.

البيانات:

• سعر السهم (S) = 100 دولار
• سعر التنفيذ (K) = 100 دولار
• الوقت حتى الانتهاء (T) = سنة واحدة (365 يومًا)
• المعدل الخالي من المخاطر (r) = 3% (0.03)
• التقلب (σ) = 25% (0.25)

الخطوة 1: حساب d1 وd2
الصيغ هي:
d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2) * T] / (σ * √T)
d2 = d1 - σ * √T

أولًا، احسب σ * √T = 0.25 * 1 = 0.25.
بعد ذلك، احسب ln(S/K) = ln(100/100) = ln(1) = 0.
الآن، عوّض في d1:
d1 = [0 + (0.03 + 0.25²/2) * 1] / 0.25
d1 = [0.03 + 0.03125] / 0.25
d1 = 0.06125 / 0.25 = 0.245

d2 = 0.245 - 0.25 = -0.005

الخطوة 2: إيجاد N(d1) وN(d2)
يمثلان N(d1) وN(d2) الاحتمالات في ظل التوزيع الطبيعي. يمكنك إيجادهما باستخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي أو دالة NORM.S.DIST في Excel.
N(0.245) يساوي تقريبًا 0.5968.
N(-0.005) يساوي تقريبًا 0.4980.

الخطوة 3: حساب عامل الخصم
e^(-rT) = e^(-0.03 * 1) = e^(-0.03) ≈ 0.9704.

الخطوة 4: التعويض في الصيغة
C = 100 دولار * 0.5968 - 100 دولار * 0.9704 * 0.4980
C = 59.68 دولارًا - 48.33 دولارًا
C = 11.35 دولارًا

إذن، يقترح نموذج بلاك-شولز قيمة عادلة قدرها 11.35 دولارًا لخيار الشراء هذا بسنة واحدة وسعر 100 دولار على سهم بسعر 100 دولار بتقلب 25%. القيمة الجوهرية 0 (السهم يساوي سعر التنفيذ)، لذا فإن كل الـ 11.35 دولارًا هي قيمة زمنية، تعكس الاحتمال الكبير لتحرك السهم بشكل ملحوظ على مدى عام كامل.

الافتراضات الخفية والقيود

نموذج بلاك-شولز أنيق، لكنه يستند إلى عدة افتراضات تُنتهك في العالم الحقيقي. يفترض تقلبًا ثابتًا، ونحن نعرف أن هذا غير صحيح. إذا حللت النموذج عكسيًا باستخدام أسعار السوق الفعلية لمدخل التقلب، تحصل على التقلب الضمني (implied volatility - IV)، الذي يتقلب يوميًا. في الواقع، لا يستخدم معظم المتداولين المحترفين بلاك-شولز لـ«إيجاد السعر»؛ بل يستخدمونه لترجمة أسعار السوق إلى مقياس تقلب موحّد لمعرفة ما إذا كان الخيار رخيصًا أو باهظًا مقارنة بالتاريخ.

يفترض النموذج أيضًا توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا لأسعار الأسهم، مما يعني أنه يفترض أن الانهيارات الضخمة أو الارتفاعات الهائلة أقل احتمالًا مما هي عليه في الواقع. هذا يفسر ظهور «ابتسامة التقلب» (volatility smile)، حيث تتداول خيارات البيع خارج نطاق المال بتقلبات ضمنية أعلى مما يقترحه النموذج لأن المستثمرين يدفعون مبالغ إضافية مقابل الحماية من الانهيار. علاوة على ذلك، الصيغة الأصلية مخصصة للخيارات الأوروبية، التي لا يمكن تنفيذها مبكرًا. الخيارات الأمريكية، التي يمكن تنفيذها في أي وقت قبل الانتهاء، تحمل عادةً علاوة طفيفة، ويتطلب تسعيرها نماذج شجرية ثنائية أو ثلاثية أكثر تعقيدًا. كما يلاحظ Hull (2018) في Options, Futures, and Other Derivatives، من الأفضل فهم صيغة بلاك-شولز كحالة حدية لهذه الطرق العددية الأكثر تقدمًا.

الخلاصة العملية للمتداولين

إذن، ماذا يعني هذا لصفقتك التالية؟ أولًا، لا تدع أبدًا حاسبة السعر النظرية للوسيط تكون السبب الوحيد لشراء خيار. بدلًا من ذلك، استخدم النموذج لفهم لماذا السعر هو ما هو عليه. إذا كنت تشتري خيار شراء، فأنت تشتري الزمن والتقلب. إذا كنت تعتقد أن التقلب سيتوسع (على سبيل المثال، قبل تقرير أرباح أو إعلان من الاحتياطي الفيدرالي)، فقد تكون مستعدًا لدفع علاوة أعلى. إذا كنت تعتقد أن التقلب سينهار، فيجب أن تبيع الخيارات أو تتجنب شراء العلاوات.

ثانيًا، افهم أن السوق آلة تسعير عالية الكفاءة. السعر الذي تراه على شاشتك هو إجماع آلاف المتداولين، وكلهم يستخدمون نماذج مثل بلاك-شولز. تأتي ميزتك ليس من «التغلب» على النموذج، بل من امتلاك توقعات مختلفة، وآمل أن تكون أكثر دقة، للتقلب عن توقعات السوق. يمنحك النموذج عدسة لرؤية ما يلمّح إليه السوق بشأن المستقبل، مما يتيح لك اتخاذ قرارات بناءً على الاحتمالات بدلًا من الأمل.

الإفصاح عن المخاطر: ينطوي تداول الخيارات على مخاطر خسارة كبيرة وغير مناسب لجميع المستثمرين. هذه المقالة لأغراض تعليمية وليست نصيحة استثمارية.

المصادر:

• Black, F., & Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637–654.
• Merton, R. C. (1973). Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics and Management Science, 4(1), 141–183.
• Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
• Options Clearing Corporation (OCC). (2024). OCC 2024 Annual Report. Retrieved from OCC.